Znaky dělitelnosti čísel: co to je, dělitelnost 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, vlastnosti dělitelnosti, pravidla pro ročník 5, příklady, úlohy s odpověďmi v matematice

Dělení je jednou ze základních aritmetických operací. Děti se s ní seznámí na základní škole, aby ji pak mohly využít nejen v matematice, ale i v mnoha dalších vědách. A znalosti o znacích dělitelnosti čísel velmi pomáhají v každodenním životě dětem i dospělým. Například když si vybereme balíček sladkostí, který lze rozdělit rovným dílem mezi všechny členy rodiny, nebo spočítáme, zda balíček vitamínů vystačí na několik celých dnů příjmu.

Co je dělitelnost čísel v matematice

Dělitelnost čísla je schopnost vydělit ho rovnoměrně jiným číslem. Například číslo 4 je dělitelné 2 a 30 je dělitelné 2, 3, 4, 5, 6 a 10. Můžeme také říci, že tato čísla jsou násobky svých dělitelů: 4 je násobek dvou.

Užitečné informace o dělitelnosti čísel v matematice

Pojďme shromáždit stručný popis prvků dělitelnosti čísel v jediné tabulce. Níže se budeme podrobněji zabývat všemi znaky a příklady jejich použití.

Vlastnosti dělitelnosti čísel

V mnoha případech je možné pochopit, zda je číslo, které potřebujeme, něčím dělitelné, aniž bychom použili kalkulačku nebo provedli samotné dělení. Například pravděpodobně víte, jak určit, zda je číslo dělitelné 10. Pokud je číslo „kulaté“ a jeho poslední číslice je 0, pak ve všech ostatních případech dělitelné není.

Dále se seznámíme se znaky dělitelnosti jinými čísly.

Kritéria dělitelnosti čísel 2, 4, 8

Dělitelnost 2 je také zřídka problém, protože děti se od první třídy učí určovat sudá a lichá čísla. Sudá čísla, tedy beze zbytku dělitelná 2, jsou ta, která končí číslem 0, 2, 4, 6 nebo 8.

Dělitelnost 4 je o něco složitější. Pro kontrolu je potřeba vzít poslední dvě číslice z uvažovaného čísla: pokud je výsledné dvouciferné číslo dělitelné 4 beze zbytku, pak je dělitelné i to původní. Také všechna čísla končící dvěma nulami jsou dělitelná 4.

Podobně je tomu s dělitelností 8, jen v tomto případě musí číslo končit třemi nulami nebo trojciferným číslem dělitelným 8 beze zbytku. Ale pro čísla do 1 neexistuje žádné kritérium dělitelnosti 000.

to je zajímavé
Rozložení čísla na prvočinitele
Učitel matematiky o násobení prvočísel a rozkladu čísla na prvočinitele

Příklady

Vezměme si jako příklad číslo 1 024, aplikujte výše popsaná znaménka a zkontrolujte, zda je dělitelné 2, 4 a 8.
Poslední číslice je 4, což znamená, že číslo je dělitelné 2.
Poslední dvě číslice jsou 24. 24/4 = 6, dělitelné beze zbytku. To znamená, že původní číslo je také dělitelné 4.
Poslední tři číslice jsou 024, takže zkontrolujeme číslo 24. Je dělitelné 8, což znamená, že 1 024 je také dělitelné 8.

Pojďme zkontrolovat všechna tři tvrzení:

1024: 2 = 512
1024: 4 = 256
1024: 8 = 128

Kritéria dělitelnosti čísel 3, 9

Je docela snadné určit, zda je číslo dělitelné 3 nebo 9. Musíte sečíst všechna čísla, ze kterých se skládá, a zkontrolovat, zda je výsledný součet dělitelný 3 nebo 9. Můžete začít devítkou: pokud je dělitelná 9, pak je samozřejmě dělitelná i 3.

Příklady

Podívejme se na některá čísla:

• 736. Sečtěte čísla: 7 + 3 + 6 = 16, nedělitelné 3 ani 9. To znamená, že původní číslo 736 není dělitelné 3 ani 9.
• 456. Sečtení: 4 + 5 + 6 = 15. Dělitelné 3, ale ne 9. To samé s původním číslem.
• 5 247. Součet 5 + 2 + 4 + 7 = 18 je dělitelný 9. Proto je 5 247 dělitelné 3 a 9.

Kritéria dělitelnosti čísel 5

Dělení 5 je snadno pochopitelné: pokud číslo končí 0 nebo 5, pak je to násobek pěti. Níže se podíváme na některé příklady.

Příklady

Vyberme několik čísel, která jsou beze zbytku dělitelná 5: 25, 72 647 475, 8 267 440, 110, 987 625. Všechna tato čísla končí buď 5, nebo 0.

Kritéria dělitelnosti čísel 6

Protože 6 je součin 2 a 3, všechna čísla, která jsou současně dělitelná těmito dvěma čísly, budou také dělitelná 6. To znamená, že musíme zkontrolovat, zda číslo končí nulou nebo jakoukoli sudou číslicí a součet všech jeho číslic je dělitelný 0.

Příklady

Ujistíme se, že znaménko funguje a zkontrolujeme několik čísel na násobek šesti.

186. Poslední číslice je 6, sudá. Součet 1 + 8 + 6 = 15, je dělitelný 3 beze zbytku. To znamená, že původní číslo 186 je dělitelné 6. Zkontrolujte: 186 : 6 = 31.
7 662. Poslední číslice je 2 a 7 + 6 + 6 + 2 = 21, což je násobek tří. Zkontrolujeme: 7 662 : 6 = 1 277.

Kritéria dělitelnosti čísel 7

Dělitelnost 7 se kontroluje následovně. V původním čísle je potřeba přeškrtnout poslední číslici, čímž získáte nové číslo, jehož délka je o jednu číslici kratší. Poté z výsledného čísla musíte odečíst poslední číslici původního čísla vynásobenou dvěma. Pokud je výsledek dělitelný 7, pak je dělitelné i původní číslo. Podívejme se na příklad, abychom lépe porozuměli ověřovacímu algoritmu.

Příklady

Zkontrolujme například, zda je číslo 7 dělitelné 2. K tomu potřebujeme číslo 345 (vypusťte poslední číslici původního čísla). Od něj je třeba odečíst poslední číslici původního čísla 234, vynásobenou dvěma, tedy dvojnásobkem pěti.

Počítejme: (234 – 5 × 2) : 7 = 32, což znamená, že 2 345 je násobek sedmi.

Kritéria dělitelnosti čísel 10

Přejděme k funkci, která byla zmíněna výše. Dělitelnost 10 je pravděpodobně nejsnáze kontrolovatelná vlastnost: pokud je poslední číslice čísla 0, pak je dělitelné 10.

Stejný princip se používá pro kontrolu dělitelnosti 100 (dvě nuly na konci čísla), 1000 (tři nuly) a tak dále.

Příklady

Uveďme několik čísel, která jsou přesně dělitelná 10: 643 750, 50, 870, 844 000, 45 600 Na konci každého případu je nula a počet nul určuje dělitelnost ostatními „kulatými“ čísly. Například 45 600 je také dělitelné 100 a 844 000 je dělitelné 1000 XNUMX.

Kritéria dělitelnosti čísel 11

Dělitelnost 11 se kontroluje porovnáním součtu číslic na lichých pozicích v čísle se součtem číslic na sudých pozicích. Pokud jsou součty stejné, číslo se vydělí 11. Výhodnější je analyzovat znaménko pomocí příkladu, který uvedeme níže.

Příklady

Podívejme se tedy na číslo 112 046.

Na lichých pozicích, tedy na prvním, třetím a pátém místě v čísle jsou čísla 1, 2 a 4, jejich součet je 7. Na sudých pozicích (druhé, čtvrté a šesté) jsou čísla 1, 0 a 6, která také dávají dohromady 7. Tedy číslo 112 046 je dělitelné 11 rovnoměrně, zkontrolujme 112 046 11 :10.

Úlohy na téma “Znaménka dělitelnosti čísel”

Udělejme několik cvičení o aplikaci pravidel dělitelnosti pro čísla.

1 úloha

Určete, zda jsou pravdivá následující tvrzení:

1. 677 je dělitelné 2.
2. 123 je dělitelné 3.
3. 816 je dělitelné 4.
4. 455 je dělitelné 5.
5. 591 je dělitelné 6.
6. 365 je dělitelné 7.
7. 5 104 je dělitelné 8.
8. 1 854 je dělitelné 9.
9. 3 450 je dělitelné 10.
10. 3 850 je dělitelné 11.

2 úloha

Určete, kterými čísly je číslo 39 916 800 dělitelné. Pro dokončení úkolu zkontrolujte, zda toto číslo má některou z uvedených vlastností dělitelnosti.

Odpovědi na problémy

Nyní se otestujme pomocí poskytnutých odpovědí.

1 úloha

Určete, zda jsou pravdivá následující tvrzení:

1. 677 je dělitelné 2. Nesprávně.

Poslední číslice čísla 677 je 7, což je liché, což znamená, že číslo není dělitelné 2.

1. 123 je dělitelné 3. Správně.

1 + 2 + 3 = 6, je dělitelné 3. To znamená, že 123 je dělitelné 3. Zkontrolujeme: 123 : 3 = 41.

1. 816 je dělitelné 4. Správně.

Poslední číslice čísla jsou 16, což je násobek čtyř. Takže 816 je dělitelné 4. 816 : 4 = 204.

1. 455 je dělitelné 5. Správně.

Poslední číslice je 5, zkontrolujeme: 455 : 5 = 91.

1. 591 je dělitelné 6. Nesprávně.

Číslo 591 není dělitelné 2, a proto není dělitelné 6.

1. 356 je dělitelné 7. Nesprávně.

Vynecháme poslední číslici a dostaneme 35. Počítejme: 35 – 2 × 6 = 35 – 12 = 23, což není dělitelné 7.

1. 5 104 je dělitelné 8. Správně.

Poslední číslice jsou 104, což je dělitelné 8. Zkontrolujeme: 5 104 : 8 = 638.

1. 1 854 je dělitelné 9. Správně.

1 + 8 + 5 + 4 = 18, násobek devíti. Kontrola: 1 854 : 9 = 206.

1. 3 450 je dělitelné 10. Správně.

Na konci je 0, což znamená, že je dělitelný. 3 450 : 10 = 345.

1. 3 850 je dělitelné 11. Správně.

Součet číslic na lichých pozicích je 3 + 5 = 8. Na sudých pozicích: 8 + 0 = 8. Součty se shodují. Zkontrolujeme: 3 850 : 11 = 350.

2 úloha

Pojďme zkontrolovat všechny znaky dělitelnosti čísla 39 916 800.

Ihned poznamenáváme, že díky 00 na konci je splněna podmínka dělitelnosti 2, 4, 5 a 10.

Zkontrolujeme součet číslic:

3 + 9 + 9 + 1 + 6 + 8 + 0 + 0 = 36.

Dělitelné 3 a 9, což znamená, že původní číslo je dělitelné 3 a 9.

Násobnost 2 a 3 současně dává důvěru v dělitelnost 6.

Zkontrolujeme dělitelnost 7:

Poslední tři číslice jsou 8, 0, 0.

800 je dělitelné 8, což znamená, že původní číslo je také dělitelné.

Nakonec zkontrolujeme dělitelnost 11:

Částky se shodují – číslo je násobkem 11.

Je tedy dokázáno, že původní číslo je násobkem všech čísel od 2 do 11.

Pomocí výpočtů to lze ověřit a zjistit

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 = 39 916 800

Takový součin všech čísel začínajících 1 a končících nějakým číslem n se také nazývá faktoriál n a je označeno vykřičníkem: n!. V tomto případě 39 916 800 = 11!

Oblíbené otázky a odpovědi

Veronika Petrenko, vedoucí učitelka matematiky na domácí škole „InternetUrok“, odpovídá:

Jak se připravit na samostatnou práci na téma „Znaménka dělitelnosti čísel“?

Pro přípravu na samostatnou práci na téma „Znaky dělitelnosti čísel“ je nutné nejprve prostudovat definice dělitelnosti, násobnosti a zbytku z dělení. Dále musíme analyzovat znaménka dělitelnosti 2, 3, 5, 9, 10 a dalšími. Snažte se porozumět nejen formulacím znaků, ale i jejich důkazům (alespoň u těch nejzákladnějších). Všechny funkce si také můžete zapsat do tabulky nebo diagramu a samozřejmě pomocí těchto funkcí řešit praktické problémy.

Proč se v 5. třídě začínají učit dělitelnost čísel?

Dělitelnost čísel se studuje od 5. ročníku, protože v tomto věku již mají žáci základní dovednosti v práci s čísly a aritmetických operacích. Studium dělitelnosti pomáhá rozvíjet logické myšlení, učí analyzovat čísla a jejich vlastnosti, což je důležitá etapa v matematickém vzdělávání.

Pochopení dělitelnosti je základním pojmem v matematice. Je nezbytný pro studium zlomků, běžných a desetinných míst, procent, algebraických výrazů, rozkladu čísel, řešení rovnic a nerovnic a mnoha dalších témat.

Ve kterých úlohách OGE a USE v matematice se bude hodit znalost pravidel dělitelnosti čísel?

Na znaménkách dělitelnosti v OGE nebo USE není žádný úkol jako takový, ale pochopení těchto znaků výrazně zjednodušuje řešení mnoha dalších problémů ze zkoušek. Kritéria dělitelnosti mohou být užitečná v problémech se společnými a desetinnými zlomky, v problémech týkajících se transformace výrazů, v rovnicích a nerovnicích, v některých problémech zahrnujících kombinatoriku a pravděpodobnost (například při počítání počtu čísel, která splňují určité podmínky dělitelnosti).